解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试求映射 $w=f(z)=\ln (z-1)$ 在点 $z=-1+2 \mathrm{i}$ 处的旋转角，并说明它将 $z$ 平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？
求闭单位圆 $|z| \leqslant 1$ 在分式线性映射 $w=\frac{z}{z-1}$ 下的像域？
求一线性映射，它把单位圆 $|z| < 1$ 保形映射成圆 $|w-1| < 1$ ，并且分别将 $z_1=-1, z_2=-\mathrm{i}, z_3=\mathrm{i}$ 变为 $w_1=0, w_2=2, w_3=1+\mathrm{i}$ ．
求一个把角形域 $D:-\frac{\pi}{6} < \arg z < \frac{\pi}{6}$ 映射为单位圆盘 $G:|w| < 1$的保形映射。
求把具有割痕：$z=t+\mathrm{i} t(1 \leqslant t \leqslant 2)$ 的扩充 $z$ 平面映射成上半平面 $\operatorname{Im} w>0$ 的一个映射。
映射 $w=z^2$ 把上半个圆域：$|z| < R, \operatorname{Im} z>0$ ，映射成什么？