解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在 $\triangle {ABC}$ 中， P 为平面内一点，连结 $ {PA}, {PB}, {PC}$ ，分别以 PC 和 AC 为一边向右作等边三角形 $\triangle {PCM}$ 和 $\triangle {ACD}$ ．
【探究】求证： $ {PM}= {PC}, {MD}= {PA}$
【应用】若 $ {BC}= {a}, {AC}= {b}, \angle {ACB}=60^{\circ}$ ，则 $ {PA}+ {PB}+ {PC}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ （用 $ {a}, {b}$表示）
如图，$P$ 为正方形 $A B C D$ 内的动点，若 $A B=2$ ，则 $P A+P B+P C$ 的最小值为
如图，$\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=45^{\circ}, A B=6, A C=4, P$ 为平面内一点，求 $2 \sqrt{2} B P+\sqrt{5} A P+3 P C$ 最小值
如图，$A B C D$ 为矩形，$A B=4 \sqrt{3}, A D=4, E F$ 为 $A B C D$ 内两点，求 $(A F+D F+F E +C E+B E)$ 的最小值．
如图，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，把 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到 $A E$ ，连接 $C E, D E$ ．点 $F$ 是 $D E$ 的中点，连接 $C F$ ．
（1）求证：$C F=\frac{\sqrt{2}}{2} A D$ ；
（2）如图 2 所示，在点 $D$ 运动的过程中，当 $B D=2 C D$ 时，分别延长 $C F, B A$ ，相交于点 $G$ ，猜想 $A G$ 与 $B C$ 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点 $D$ 运动的过程中，在线段 $A D$ 上存在一点 $P$ ，使 $P A+P B+P C$ 的值最小．当 $P A+P B+P C$ 的值取得最小值时，$A P$ 的长为 $m$ ，请直接用含 $m$ 的式子表示 $C E$ 的长．
