如图，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，把 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到 $A E$ ，连接 $C E, D E$ ．点 $F$ 是 $D E$ 的中点，连接 $C F$ ．
（1）求证：$C F=\frac{\sqrt{2}}{2} A D$ ；
（2）如图 2 所示，在点 $D$ 运动的过程中，当 $B D=2 C D$ 时，分别延长 $C F, B A$ ，相交于点 $G$ ，猜想 $A G$ 与 $B C$ 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点 $D$ 运动的过程中，在线段 $A D$ 上存在一点 $P$ ，使 $P A+P B+P C$ 的值最小．当 $P A+P B+P C$ 的值取得最小值时，$A P$ 的长为 $m$ ，请直接用含 $m$ 的式子表示 $C E$ 的长．