【33749】 【 华南理工大学2025年数学分析真题解答(来自公众号数学考研李扬)】 解答题 已知数列 $x_0=a>0, x_n=\arctan x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ．证明： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} x_n=1$ ．

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【33748】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 如图所示，木板 $A$ 放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧 $M 、 N$ 与桌面上的两个固定挡板相连。小物块 $B$ 放在 $A$ 的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球 $C$ 相连，轻绳绝缘且不可伸长，$B$ 与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一坚直向上的匀强电场，初始时在电场力的作用下 $A 、 B 、 C$ 均静止，$M 、 N$ 处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。 $t=0$ 时撤去电场，$C$ 向下加速运动，下降一段距离后开始匀速运动，$C$ 开始做匀速运动瞬间弹簧 $N$ 的弹性势能为 0.1 J 。已知 $A 、 B 、 C$ 的质量分别为 $0.2 \mathrm{~kg} 、 0.5 \mathrm{~kg} 、 0.3 \mathrm{~kg}$ ，匀强电场的电场强度大小为 $E=3 \times 10^6 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ ，重力加速度大小 g 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，弹簧弹性势能与劲度系数、形变量之间的关系满足 $E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k x^2$ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 （1）求小球 $C$ 的带电量； （2）求 $A$ 与 $B$ 间的动摩擦因数及 $C$ 做匀速运动时的速度大小； （3）若 $t=0$ 时电场方向改为坚直向下，$B$ 与 $A$ 发生相对滑动后，$A 、 B$ 继续向右运动，一段时间后，$A$ 从右向左运动。求 $A$ 第一次从右向左运动过程中的最大速度（整个过程 $B$末与 $A$ 脱离，$C$ 末与地面相碰）。 [img=/uploads/2025-11/b5eb68.jpg][/img]

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【33747】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 ＂转碟＂是传统的杂技项目，如图所示，一质量为 $m$ 可视为质点的发光物体放在半径为 $r$ 的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕中心 $A$ 点做圆周运动，重力加速度为 $g$ 。 （1）当碟子的角速度为 $\omega_1$ 时，发光物体和碟子保持相对静止做匀速圆周运动，求此时发光物体受到碟子的作用力大小； （2）若碟子半径为 $r=0.25 \mathrm{~m}$ ，发光物体与碟子间的动摩擦因数为 $\mu=0.5$ ，重力加速度 $g$取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。使碟子从静止开始转动，发光物体做加速圆周运动，切向加速度大小恒为 $a=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求经过多长时间发光物体和碟子将发生相对滑动。 [img=/uploads/2025-11/a32f96.jpg][/img]

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【33746】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障等阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由 $324 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 减小到 0 ，历时 60 s 。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为 7000 N 的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的 $\frac{1}{2}$ ，火星质量约为地球质量的 $\frac{1}{10}$ ，地球表面重力加速度大小 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，探测器在动力减速阶段的运动视为坚直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。

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【33745】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 某同学要将一个满偏电流 $I_{\mathrm{g}}=50 \mu \mathrm{~A}$ 的表头 G 改装成量程为 1 mA 的电流表并校准。 [img=/uploads/2025-11/a80b32.jpg][/img] （1）用图 1 所示的电路测量表头 G 的内阻 $r_{\mathrm{g}}$ ，连接电路，闭合开关调整滑动变阻器，当电流表 $A$ 的示数为 48 mA 时，表头 $G$ 的示数如图 2 所示，该读数为 $\_\_\_\_$ $\mu$ 。 （2）已知电流表 A 的内阻 $r_{\mathrm{A}}=3 \Omega$ ，则表头 G 的内阻 $r_{\mathrm{g}}=$ $\_\_\_\_$ $\Omega$ 。经过计算，用一个阻值为 $R_1$ 的电阻与表头 G 并联，将表头 G 改装成量程为 1 mA 的电流表。 （3）将改装后的电流表与标准电流表串联进行校准，当表头 G 的示数为 $\frac{4}{5} I_{\mathrm{g}}$ 时，标准电流表 A 的示数为 0.68 mA ，则改装之后的电流表实际量程是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{mA}_{\text {。 }}$ （4）如果是因为 $r_{\mathrm{g}}$ 的测量不准确导致改装后的电流表量程不是 1 mA ，为使改装后的电流表量程变为 1 mA ，只需要在 $R_1$ 的两端并联一个阻值为 $R_2=$ $\_\_\_\_$ $R_1$ 的电阻即可 （结果用分数表示）。

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【33744】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 解答题 某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点时速度的实验。所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为 $R=0.20 \mathrm{~m}$ ）。 [img=/uploads/2025-11/b0e680.jpg][/img] 完成下列填空： （1）将凹形桥模拟器固定在托盘秤上，如图所示，托盘秤的示数为 1.00 kg 。 （2）将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数为 1.50 kg 。 （3）将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为 1.75 kg 。 （4）根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力大小为 $\_\_\_\_$ N；小车通过最低点时的速度大小为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}$（重力加速度大小 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，结果均保留 2 位有效数字）。

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【33743】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 多选题 如图所示，空间存在坚直向上的匀强电场，在同一水平直线上 $A 、 B$ 两点处分别把两个质量均为 $m$ 的带电小球同时抛出。小球 1 抛出时速度大小为 $v_0$ ，方向水平向右，小球 2 抛出时速度与水平方向成 $\theta=45^{\circ}$ ，两球的运动轨迹在同一坚直面内，两球在 $P$ 点相遇，$P$ 是 $A B$ 连线中垂线上的一点。已知两球所带电荷量大小均为 $q$ ，该过程中两球的运动时间均为 $t= \frac{2 v_0}{g}, g$ 为重力加速度，不计空气阻力和两球间的相互作用，下列说法正确的是 [img=/uploads/2025-11/a27a5b.jpg][/img]

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【33742】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 多选题 如图所示为某排气装置的电路图，它主要由规格为＂ 220 V 44 W ＂的排气扇 M 和照明灯 L构成。闭合开关 S 后，排气扇正常工作，照明灯正常发光，电流表的示数为 0.5 A 。已知排气扇线圈电阻为 $40 \Omega$ ，电流表的内阻可忽略。下列判断正确的是 [img=/uploads/2025-11/b4cf2e.jpg][/img]

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【33741】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 多选题 如图所示，置于坚直平面内的 $A B$ 光滑曲杆，它是按初速度为 $v_0$ 的平抛运动轨迹制成的，$A$端为抛出点，$B$ 端为落地点，且 $A 、 B$ 间的连线与水平方向成 $\alpha$ 角， $\tan \alpha=\frac{1}{2}$ 。现将一质量为 $m$ 的小圆环套于曲杆上，从 $A$ 端由静止滑下，重力加速度为 $g$ ，则 [img=/uploads/2025-11/5a0575.jpg][/img]

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【33740】 【 2025年11月湖南高三年级物理大联考】 多选题 如图所示，静电除尘器由板状收集器 $A$ 和线状电离器 $B$ 组成，$A 、 B$ 分别接高压电源的正、负两极，它们之间有很强的电场，空气分子被电离成正离子和电子，电子在向着正极 $A$ 运动的过程中，遇到烟气中的粉尘，使粉尘带负电，粉尘被吸附到正极 $A$ 上，以达到除尘的目的。下列说法正确的是 [img=/uploads/2025-11/51d1b7.jpg][/img]

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