【33839】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明： $\mathbb{R}^n$ 中的可数稠密集 $E$ 不为 $G_\delta$ 集．但它是 $F_\sigma$ 集．

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【33838】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明：不存在满足下列条件的函数 $f(x, y)$ ： （1）$f(x, y)$ 为 $\mathrm{R}^2$ 上的连续函数； （2）偏导数 $\frac{\partial}{\partial x} f(x, y), \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ 在 $\mathrm{R}^2$ 上处处有限； （3）$f(x, y)$ 在 $\mathrm{R}^2$ 的任一点处都不可微．

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【33837】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 Riemann 函数 $$ \begin{aligned} & R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \\ & R(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} \in \mathbb{Q}, q \in Z, p \in \mathrm{~N}, p \text { 与 } q \text { 无大于 } 1 \text { 的公因子, } \\ 0, & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases} \end{aligned} $$ 在所有有理点处不连续，而在所有无理点处连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=0, \quad x_0 \in \mathbb{R} $$

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【33836】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 证明题 解答如下问题． （1）叙述实数系完备性基本定理中的致密性定理和 Cauchy 收敛准则． （2）利用致密性定理证明 Cauchy 收敛准则的充分性部分．

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【33835】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 设 $x_n \neq 0, n \in \mathbb{N}_{+}$，证明：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-\frac{\left|x_{n+1}\right|}{\left|x_n\right|}\right)=a>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 绝对收敛．

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【33834】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 计算 $$ I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^2-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 是曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧．

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【33833】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 设 $f(u)$ 和 $g^{\prime}(v)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，$L: x^2+y^2=4$ ，取逆时针．$D: x^2+y^2 \leq 4$ ，且 $$ \iint_D(x+y) g^{\prime}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1 $$ 计算 $I=\int_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x-y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ ．

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【33832】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{(1+x)(1+2 x) \cdots(1+n x)}(x \geq 0)$ 的和函数，并讨论其在 $[1,+\infty)$ 上的一致收敛性．

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【33831】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 证明函数 $y=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．

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【33830】 【 南京师范大学2025年数学分析真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f^{\prime}(\xi)-2 f(\xi)=0 . $$

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