【33849】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》有限测度与测度延拓】 解答题 设 $X=\left\{x_n \mid n \in \mathrm{~N}\right\}$ 为可数集， $\mathscr{R}$ 为 $X$ 中有限子集所成的环．对于 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu_1(E)$为 $E$ 中的点数，$\mu_2(E)=\alpha \mu_1(E), \alpha \in[0,+\infty)$（由例2．1．1知，$\mu_1, \mu_2$ 均为 $\mathscr{R}$ 上的测度）．证明：$\mu_1^*, \mu_2^*$ 都为 $\mathscr{H}(\mathscr{R})$ 上的测度．

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【33848】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 环上的测度、外测度与测度延拓】 解答题 设 $\mu$ 为基本空间 $X$ 的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu(E)<+\infty$ ．证明：$\mu$的＂原子＂的全体为至多可数集． 举例说明 $\mathscr{R}$ 为＂$\sigma$ 环＂改为＂环＂，上述结论并不成立。

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【33847】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 环上的测度、外测度与测度延拓】 解答题 设 $\mu$ 为基本空间 $X$ 的环 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu(E) \leqslant 1$ ．证明：$\mu$ 的＂原子＂（即是 $\mathscr{R}$ 中的元素，它为 $X$ 中的独点集 $\{x\}$ ，且 $\mu(\{x\})>0)$ 的全体为至多可数集．

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【33846】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 环上的测度、外测度与测度延拓】 解答题 设 $\left\{\mu_n\right\}$ 为环 $\mathscr{R}$ 上的一列测度．证明： $$ \mu(E)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \mu_n(E), E \in \mathscr{R} $$ 也为 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \forall n \in \mathrm{~N}$ ，都有 $\mu_n(E) \leqslant 1$ ，则 $\mu(E) \leqslant 1, E \in \mathscr{R}$ 。

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【33845】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 在 $(-R, R)$ 上收敛．令 $$ E=\left\{x \in(-R, R) \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right\}, $$ 如果 $E^{\prime} \cap(-R, R) \neq \varnothing$ ，证明：$a_n=b_n, n=0,1,2, \cdots$ ．

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【33844】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明：平面 $\mathrm{R}^2$ 和开圆片都不能被其中至多可数个彼此无公共内点（可以相切）的闭圆片的集合 $\mathscr{A}$ 所覆盖． 推广：$n$ 维 Enclid 空间 $\mathbb{R}^n$ 和 $n$ 维开球体都不能被其中至多可数个彼此无公共内点（可以相切）的闭球体的集合 $\mathscr{A}$ 所覆盖（类似平面情形证明）。

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【33843】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}^3$ ，且对 $\forall x, y \in E$ ，距离 $\rho_0^3(x, y) \in Q$ ．证明：$E$ 为至多可数集．

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【33842】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $C$ 为 $[0,1]$ 中的 Cantor 疏朗集．证明： $$ C+C=\{x+y \mid x \in C, y \in C\}=[0,2] . $$

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【33841】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明：点 $x=\frac{1}{4}, \frac{1}{13}$ 属于 Cantor 疏朗集 $C$ ．

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【33840】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $F \subset \mathbb{R}^n$ 为至多可数的非空闭集．证明：$F$ 必含孤立点．

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