定义 $\min \{a, b\}=\left\{\begin{array}{l}a, a \leq b \\ b, a>b\end{array}\right.$ 设函数 $f(x)=\min \{\sin \omega x, \cos \omega x\}(\omega>0)$ ，可以使 $f(x)$ 在 $\left(\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减的 $\omega$ 的值为（ ）
A
$\left[\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right]$
B
$[2,3]$
C
$\left[\frac{3}{5}, 2\right]$
D
$[3,4]$
E
F