函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 恒有 $f(x) \leq f(2 \pi)$ ，且 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增，则 $\omega$ 的值为（ ）
A
$\frac{5}{6}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{7}{6}$
D
$\frac{1}{6}$ 或 $\frac{7}{6}$
E
F