已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right), f(x) \leq\left|f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|, f(x)+f\left(\frac{4 \pi}{3}-x\right)=0, f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{12}\right)$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为 ．