菱形 $A B C D$ 中，$E, F$ 为边 $A B, A D$ 上的点，$C F, D E$ 相交于点 $G$ ．
（1）如图 1，若 $\angle A=90^{\circ}, D E \perp C F$ ，求证：$D E=C F$ ；
（2）如图 2，若 $D E=C F$ ．试探究此时 $\angle E G F$ 和 $\angle A$ 满足什么关系？并证明你的结论；
（3）如图 3，在（1）的条件下，平移线段 $D E$ 到 $M N$ ，使 $G$ 为 $C F$ 的中点，连接 $B D$ 交 $M N$ 于点 $H$ ，若 $\angle F C D=15^{\circ}$ ，求 $\frac{F H}{B H}$ 的值．