已知函数 $f(x)=\left|\ln x-\frac{1}{2}\right|$ ，若 $0 < x_1 < \sqrt{\mathrm{e}} < x_2 < \mathrm{e}$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $P\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$和点 $Q\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别与 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|O M|}{2|O N|}$ 的取值范围是