欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x(x \in \mathrm{R}), \mathrm{e}$ 是自然对数的底， i 是虚数单位．它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 $\cos x= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{2}, \sin x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i}}(x \in \mathrm{R})$ 。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为＂数学中的天桥＂．当 $x=\pi$ 时，得到等式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}+1=0$ ，数学里最重要的五个常数 $\mathrm{e}, \pi, \mathrm{i}, 1,0$ 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美．
（1）证明：若 $x \in \mathrm{R}$ ，则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$ 与 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}$ 互为共轭复数；
（2）已知 $\mathrm{e}^{z_1} \mathrm{e}^{z_2}=\mathrm{e}^{z_1+z_2}\left(z_1, z_2 \in \mathrm{C}\right)$ ，欧拉公式在复数集内可推广为 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}=\cos z+\mathrm{i} \sin z, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}= \cos z-\mathrm{i} \sin z(z \in \mathrm{C})$ ，需要指出的是， $\cos z$ 和 $\sin z$ 是复数，它们不是 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}$ 的实部和虚部，且 $\cos z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{2}, \sin z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{2 \mathrm{i}}(z \in \mathrm{C})$ 。容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 $\cos \left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2-\sin z_1 \sin z_2\left(z_1, z_2 \in \mathrm{C}\right)$ 。定义函数 $\cosh z=\cos (\mathrm{i} z), \quad \sinh z=-\mathrm{i} \sin (\mathrm{i} z)(z \in \mathrm{C})$ ．证明： $\cosh \left(z_1+z_2\right)=\cosh z_1 \cosh z_2+\sinh z_1 \sinh z_2\left(z_1, z_2 \in \mathrm{C}\right)$ ；
（3）若 $a, x, y \in \mathrm{R}$ ，令 $z=a+\mathrm{i} \ln 2, \cos z=x+y \mathrm{i}$ ，证明：$\frac{16 x^2}{25}+\frac{16 y^2}{9}=1$ ．