设 $n(n \geq 2)$ 为正整数，集合 $U=\{1,2,3, \cdots, n\}$ ，集合 $A=\left\{t_1, t_2, \cdots, t_m\right\}\left(m \in \mathbf{N}^*, m \leq n\right)$ 为 $U$ 的一个非空子集，记 $S(A)=q^{t_1}+q^{t_2}+\cdots+q^{t_m}$ ，其中 $q \geq 2$ 。
（1）若 $n=2, q=3$ ，求 $S(A)$ 的取值的集合；
（2）证明：$S(A)$ 的所有可能取值个数为 $2^n-1$ ；
（3）是否存在 $q$ ，使得 $S(A)$ 的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求 $q$ ；若不存在 ，说明理由．