已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x > 0$ 时，$f(x) < -1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\mathrm{L}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} > \ln (n+1)$ ．