设随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 独立同分布，$P\left(X_1=k\right)=\frac{1}{3}, k=1,2,3$ ，且随机变量 $Y_1=\max \left\{X_1, X_2\right\}, Y_2=\min \left\{X_1, X_2\right\}$ 。
（1）求 $Y_1$ 与 $Y_2$ 的联合概率分布；
（2）判断 $Y_1$ 与 $Y_2$ 的独立性；
（3）求 $Y=Y_1 Y_2$ 的概率分布；
（4）求 $P\left(Y_1+Y_2 \leqslant 3\right), P\left(Y_1=Y_2\right)$ ．