已知函数 $f(x)=x^2+x$ ．数列 $\left\{x_n\right\}\left(x_n < -1\right)$ 的首项 $x_1=\frac{e}{1-e}$ ．以后各项按如下方式取定：记曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(x_n, f\left(x_n\right)\right)$ 处的切线为 $l_n$ ，若 $f^{\prime}\left(x_n\right) \neq 0$ ，则记 $l_n$与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{n+1}$ ．
（1）证明：数列 $\left\{\ln \frac{x_n}{x_n+1}\right\}$ 为等比数列；
（2）设 $a_n=\ln \frac{x_n}{x_n+1}$ ，求数列 $\left\{n \cdot a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．