每个正整数 $k$ 有唯一的"阶乘表示"为 $\left(a_1, a_2, \ldots, a_m\right)$, 这些 $a_i$ 满足 $k=1!\cdot a_1+2!\cdot a_2+\cdots+m!\cdot a_m$,其中每个 $a_t\left(i=1,2,3 \cdots, m, m \in N^*\right)$ 都是整数，且 $0 \leq a_i \leq i, a_m>0$ 。
(1) 求正整数 $3,4,5,6$ 的"阶乘表示";
(2) 若正整数 $k$ 对应的"阶乘表示"为 $\left(a_1, a_2, \ldots, a_m\right)$ ，正整数 $k^{\prime}$ 对应的"阶乘表示" $\left(a_1^{\prime}, a_2^{\prime}, \ldots, a_x^{\prime}\right)$ $\left(a_1, a_2, \cdots, a_s\right)$, 其中 $m>s$, 求证: $k>k^{\prime}$ ；
(3) 对正整数 $k$, 记 $b_n=\left[\frac{k}{n!}\right]\left(n \leq m, n \in N^*\right),[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 数列 $\left\{(n-1) b_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $k-S_m=2024$, 当 $k$ 最小时, 求 $a_m$ 的值.