已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\frac{\pi}{3}, C$ 的右焦点 $F$ 到该渐近线的距离为 $2 \sqrt{3}$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 若过 $F$ 的直线与 $C$ 的左、右支分别交于点 $A, B$, 与圆 $O: x^2+y^2=a^2$ 交于与 $A, B$ 不重合的 $M$, $N$ 两点。
(i) 求直线 $A B$ 斜率的取值范围;
(ii) 求 $|A B| \cdot|M N|$ 的取值范围.