解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ，求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值与最小值．
试把函数 $f(x)=\left(x^2+1\right) \ln \left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求其收敛域。
试求曲面 $z=a+\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成的立体的体积 $V (a>0)$ ．
计算 $\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{|x|+|y|}$ ，其中 $L$ 为 $|x|+|y|=1$ ，方向为逆时针．
计算 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $x=\sqrt{1-3 y^2-3 z^2}$ ，方向为前侧．