填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x$ ，则 $\mathrm{d} y=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2 n}\right)=$
与两直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-1+t, \text { 及 } \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1} \text { 都平行，且过原点的平面方程为 } \\ z=2+t,\end{array}\right.$
交换积分次序： $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$ ．
$\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right) \mathrm{d} x$
若 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos ^3 t, \\ y=\sqrt{2} \sin ^3 x,\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}$
$\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2+4 x}}$
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+3 y^2+z^2=9 \\ z^2=3 x^2+y^2\end{array}\right.$ 在点 $M_0(1,-1,2)$ 处的切线及法平面方程．
已知直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 经过曲面 $z=x^2+y^2$ 上点 $(1,-2,5)$ 处的切平面，求 $a, b$ 的值．
$\iint_D\left(x^2+y^2\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{4-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 及 $x+y=0$ 所围的平面区域。
设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $\int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}-1$ ，求 $f(x)$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x \sin ^2 x$ 的通解
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且
$$
\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(b)
$$
求证：在 $(a, b)$ 至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．