单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+$ $\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^2}$ 为某函数的全微分，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ 0 ．
$\text{C.}$ 1 ．
$\text{D.}$ 2 ．
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{r \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
设 $F(x, y, z)$ 连续可微，$F_x \cdot F_y \cdot F_z \neq 0$ ，方程 $F(x, y, z)=0$ 可确定连续可微的隐函数 $z=z(x, y), y=y(z, x), x=y(y, z)$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-3$ ；
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=3$ ；
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-1$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=1$ ．
下面 3 个命题中，正确的命题个数为（ ）。
（1）若 $f(x, y)$ 在闭区域 $D\left(D \subset \mathbf{R}^2\right)$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界；
（2）若 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续；
（3）若对任意 $l$ ，方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微．
$\text{A.}$ 0 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ 2 ；
$\text{D.}$ 3 ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设直线 $L$ 经过点 $M(1,-2,0)$ 且与两条直线
$L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\ x-y+3 z=5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-4 t \text { 都垂直, 则 } L \text { 的参数方程为 } \\ z=3\end{array}\right.$
函数 $f(x, y)=\left(6 x-x^2\right)\left(4 y-y^2\right)$ 的极大值为
曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2-3 x y z=3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的法线方程为
若 $f(u, v)$ 的二阶偏导数连续，且满足：$\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ．又 $z=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ， $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\int_{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}^y\left|\sin t^2\right| d t+\int_0^{\sin x} \sqrt{1+t^3} d t=0$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一平面与原点的距离为 6 ，且在三坐标轴上的截距之比 $a: b: c=1: 3: 2$ ，求该平面方程．
设 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3 \\ e^y \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ ，计算 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$
设 $f(t)=\lim _{x \rightarrow+\infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ；
设 $x=f(y)$ 是函数 $y=x+\ln x$ 的反函数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} y^2}$
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，在点 $(1,-2,1)$ 的切线和法平面方程．
求抛物面 $z=x^2+3 y^2$ 在某点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切平面 $\pi$ ，使其与平面 $4 x- 6 y+z-3=0$ 平行．
设三维空间中四点 $A, B, C, D$ 所形成的三个向量为 $\overrightarrow{A B}=(2, a, 0), \overrightarrow{A C}= (0,-1,2), \overrightarrow{A D}=(2, b, 1)$ ，其中 $a>0, b < \frac{1}{2}$ ．已知 $\overline{A B}, \overline{A C}$ 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 $2 \sqrt{6}, \overline{A B}, \overline{A C}, \overline{A D}$ 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 2 ．
（1）求 $a, b$ 的值．
（2）求平行于向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 且过点 $(2,3,4)$ 的平面的方程．
（3）求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2+x y z$ 在点 $(1,2,1)$ 的梯度以及在该点沿 $\overrightarrow{A B}$ 方向的方向导数。
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，$z=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ 满足 $y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\frac{y^2}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+$ $\frac{x^2}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=4 y^2$,
（I）求 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$ ；
（II）若 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(u, u)}=\ln |2 u|-u, f(v, v)=2 v \ln |2 v|-v-\frac{v^2}{2}$ ，求 $f(1,1)$ ．
设二元函数 $f(x, y)$ 有连续偏导数，$f(1,2)=0$ ， $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right|_{(1,2)}=5$ ，且对任意实数 $t$ 都满足 $f(t x, t y)=t^2 f(x, y)$ ．
（1）计算 $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right|_{(1,2)}$ ；
（2）计算极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_0^x\left\{1+f\left(2 t-2 \sin t+1, \sqrt[3]{1+t^3}+1\right)\right\}^{\frac{1}{\ln \left(1+t^3\right)}} \mathrm{d} t
$$
设定义域为 $\mathbb{R}^2$ 、值域为区间 $I$ 的二元函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数且处处 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $C \in I$ ，曲线 $f(x, y)=C$ 为直线的充分必要条件是
$$
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 .
$$