单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A =\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶矩阵, 且其元素满足 $a_{i j}=-a_{i j}, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量, 矩阵 $B =\left(\begin{array}{cc} A & \beta \\ \beta ^{ T } & 0\end{array}\right)$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n$.
$\text{B.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n+1$.
$\text{C.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数,且 $r( B )=n$.
$\text{D.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数, 且 $r( B )=n+1$.
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵，若 1 不是 $A$ 的特征值，且 $| A |=-1$ ，则下列命题中，正确的是（ ）
（1） 2 不是 $A + A ^{-1}$ 的特征值．
（2） 2 不是 $A + A ^*$ 的特征值．
（3）－ 1 不是 $A + A ^{ T }- A A ^{ T }$ 的特征值．
（4） 1 不是 $A - A ^*+ A A ^*$ 的特征值．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （3）（4）．
$\text{C.}$ （1）（4）．
$\text{D.}$ （2）（3）．
设 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，则下列各个命题中，不是齐次线性方程组 $A x = 0$ 与齐次线性方程组 $B x=0$ 同解的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵方程 $X B = A$ 有解，且 $r( B )=r( A )$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A P = B$
$\text{D.}$ $r( A )=r( B )=r\left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$
设 3 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是正交的单位向量， $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为（ ）。
$\text{A.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=r, \boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$＂是＂存在列满秩矩阵 $\boldsymbol{C}_{n \times r}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}, \boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_r$＂的
$\text{A.}$ 充分非必要条件。
$\text{B.}$ 必要非充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．