单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
下列可作为数列 $1,2,1,2,1,2, \cdots$ 的通项公式的是（ ）
$\text{A.}$ $a_{n}=\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}$
$\text{B.}$ $a_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}$
$\text{C.}$ $a_{n}=2-\sin \frac{n \pi}{2}$
$\text{D.}$ $a_{n}=2-\cos [(n-1) \pi]$
已知数列的通项公式为 $a_{n}=n^{2}-8 n+15$ ，则 3 是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的
$\text{A.}$ 第 2 项
$\text{B.}$ 第 6 项
$\text{C.}$ 第 2 项或第 6 项
$\text{D.}$ 第 3 项
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{3 n-2}{2 n+1}$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{7}}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{37}{27}$
$\text{B.}$ $\frac{19}{14}$
$\text{C.}$ $\frac{39}{29}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=2$ ，且 $a_{4}+a_{19}=0$ ，则 $S_{21}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ，则 $S_{5}=$
$\text{A.}$ 25
$\text{B.}$ 22
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 15
设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3}=8, S_{6}=7$ ，则 $a_{7}+a_{8}+a_{9}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{8}$
С．$\frac{57}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{55}{8}$
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，且 $a_{3}=a_{1}+a_{2}$ ，则 $q=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q(q > 0$ 且 $q \neq 1)$ ，若 $a_{6}+8 a_{1}=a_{4}+8 a_{3}$ ，则 $q$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 16
古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要() 天
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
定义 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $a_{3}=1,\left|\begin{array}{cc}a_{6} & 8 \\ 8 & a_{8}\end{array}\right|=0$ ，则 $a_{7}=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\pm 4$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ $\pm 8$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1 < 0, S_6=S_{13}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a_{10}=0$
$\text{B.}$ $a_{n+1} < a_n$
$\text{C.}$ 当 $S_n>0$ 时, $n$ 的最小值为 20
$\text{D.}$ $S_2 < S_{16}$
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, 前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=10$, 公差 $d=-2$, 则 ( )
$\text{A.}$ $S_4=S_7$
$\text{B.}$ 当 $n=5$ 或 6 时, $S_n$ 取得最小值为 30
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\left|a_n\right|\right\}$ 的前 10 项和为 50
$\text{D.}$ 当 $n \leqslant 2023$ 时, $\left\{a_n\right\}$ 与数列 $\{3 m+10\}\left(m \in \mathrm{N}^*\right)$ 共有 671 项互为相反数.
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_{n}$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}=S_{5}, a_{2} a_{4}=S_{4}$ ．
（ I ）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（ II ）求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．
记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=-9, S_{3}=-15$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n+1}=\frac{a_{n}+4 b_{n}}{5}, a_{n+1}=\frac{5 a_{n}+b_{n+1}}{6}$ ，且 $a_{1}=2, b_{1}=1$
（1）求 $a_{2}, b_{2}$ 的值，并证明数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式．