一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设有向曲线 $L$ 上任一点 $(x, y)$ 处的切向量为 $(1,2 x)$, 则将 曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 化为第一类曲线积分的结果为
$\text{A.}$ $\int_L(P+2 x Q) \mathrm{d} s$;
$\text{B.}$ $\int_L(2 x P+Q) \mathrm{d} s$;
$\text{C.}$ $\int_L \frac{P+2 x Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$;
$\text{D.}$ $\int_L \frac{2 x P+Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$.
若曲线积分 $\int_L x^2 y^2 \mathrm{~d} x+a x^3 y \mathrm{~d} y$ 的结果与路径无关, 则 $a=$.
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 2
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=2-\left(x^2+y^2\right)$ 在 $x o y$ 平面上方的部分, 则 $I=\iint_{\Sigma} z d S=\begin{array}{ll}\quad \end{array}$
$\text{A.}$ $\int_1^{2 \pi} d \theta \int_0^{2-r^2}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d \theta \int_1^2\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_{-1}^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ （ ）, 其中 $\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq$ $0, R>0$ 且 $x, y, z \in \mathbb{R}$.
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}$ $(z \geqslant 0)$ 的上侧.
设空间曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+4 y^2=1 \\ x+2 y+z=1\end{array}\right.$, 从 $z$ 轴正向看是顺时针方向, 则
$$
\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z\left(x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} z}{x^2+4 y^2}=
$$
设 $L$ 是直线 $y=x$ 上点 $O(0,0)$ 到点 $A(1,1)$ 的一段弧, 则 $\int_L(x+y) \mathrm{d} s=$
$\int_L \mathrm{e}^x(1-2 \cos y) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^x \sin y \mathrm{~d} y=$
(其中 $L$ 是 $y=\sin x$ 上从点 $A(\pi, 0)$ 到点 $O(0,0)$ 的一段弧 $)$.
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\Sigma$ 为曲面 $Z=\sqrt{x^2+y^2}\left(\leq x^2+y^2 \leq 4\right)$ 的下侧, $f(x)$ 是连续函数, 计算 $I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x y-y] d y d z+[y f(x y)+2 y+x] d z d x+[z f(x y)+z] d x d y$
计算曲面积分
$$
\iiint \int_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2-z^2-w^2}{1+x^2+y^2+z^2+w^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} w
$$
其中 $D$ 为 $x^2+y^2+z^2+w^2 \leq 1, x, y, z, w \geq 0$.
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的下侧, $f(x)$ 为连续函数, 计算
$$
I=\iint_{\Sigma}[-x f(x+y)-2 x] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[-2 y-y f(x+y)] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[-z f(x+y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
计算第二型曲面积分
$$
I=\iint_S \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^4 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^2+y^2+z^2} .
$$
其中 $S$ 是圆柱面 $x^2+y^2=1$ 和平面 $z=-1, z=1$ 所围成的立 体的表面外侧.
计算 $\int_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=a^2(a>0)$, 逆时针方向.
计算曲线积分 $\prod_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$, 其中
$$
L:\left\{\begin{array}{c}
x^2+y^2+z^2=\frac{9}{2}, \\
x+z=1 .
\end{array}\right.
$$
求曲线积分: $\int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s$ ，其中
$$
L: x^2+y^2=x
$$
求曲面积分: $\iint_S x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x^2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 由 $z=x^2+y^2$ ，柱面 $x^2+y^2=1$ 以及三个坐标面在第一卦 限所围曲面外侧.
计算积分 $I=\iiint_{x^2+y^2 \leq x+y}(x+y) d x d y$ 。 解: 极坐标: 令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$, 则