一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}, \Phi(x)$ 表 示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left(\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55\right)$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(2)$
$\text{D.}$ $\Phi(2)$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a>0, b>0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X Y$.
$\text{C.}$ $\max \{X, Y\}$.
$\text{D.}$ $\min \{X, Y\}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $Y^2=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^8 X_i^2$, 则 下列选项正确的是
$\text{A.}$ $X^2 \sim \chi^2(1)$.
$\text{B.}$ $Y^2 \sim \chi^2(8)$
$\text{C.}$ $\frac{X}{Y} \sim t(8)$.
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(8,1)$.
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,1)$,
令随机变量 $Z=X Y$, 则 $Z$ 的分布为
$\text{A.}$ $N(-1,1)$.
$\text{B.}$ 与 $Y$ 同分布.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $N\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数, 为了使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 则下列个组中应取
$\text{A.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
设 $A 、 B$ 互不相容, 且 $P(A)>0, P(B)>0$, 则必有
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>0$
$\text{B.}$ $P(A \mid B)=P(A)$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=0$
$\text{D.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子, 则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）
$\text{A.}$ $\frac{3}{32}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
已知 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_{50}$ 为来自总体 $X: N(2,4)$ 的样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i$, 则 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50}\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从分布为
$\text{A.}$ $N\left(2, \frac{4}{50}\right)$
$\text{B.}$ $N\left(\frac{2}{50}, 4\right)$
$\text{C.}$ $\chi^2(50)$
$\text{D.}$ $\chi^2(49)$
三、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设总体 $X \sim N(\mu, 9)$, 已知样本容量为 25 , 样本均值 $\bar{x}=\boldsymbol{m}$; 记 $u_{0.1}=a, u_{0.05}=b ; t_{0.1}(24)=c, t_{0.1}(25)=d ; t_{0.05}(24)=l, t_{0.05}(25)=k$,
则 $\mu$ 的置信度为 $0.9$ 的置信区间为
四、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的 $25 \%, 35 \%, 40 \%$, 各车间产品的次品率分别为 $5 \%, 4 \%, 2 \%$,
求:
(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少?
设 $X$ 与 $Y$ 两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{rr}
1, & 0 \leq x \leq 1 ; \\
0, & \text { 其它. }
\end{array} \quad f_Y(y)= \begin{cases}e^{-y}, & y>0 ; \\
0, & y \leq 0 .\end{cases}\right.
$$
求: 随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数.
设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=\mathbf{2}$ 的指数分布, 证明: $Y=\mathbf{1}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{2 X}}$ 服从 $\left.\mathbf{( 0 , 1}\right)$ 上的 均匀分布。
设某次考试考生成绩服从正态分布, 从中随机抽取 36 位考生的成绩, 算得 $\overline{\boldsymbol{X}}=\mathbf{6 6 . 5}$, 样本标准差为 15 , 问在 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0 . 0 5}$ 时, 是否可以认为这次考试全体考生的平均 成绩为 70 分?
在抽样检查某种产品的质量时, 如果发现次品多于 10 个, 则拒绝接受这批产品。 设产品的次品率为 $10 \%$, 问至少应抽查多少个产品进行检查, 才能保证拒绝这批产品的概 率达到 $0.9 ?(\boldsymbol{\Phi} \mathbf{1 . 2 9})=\mathbf{0 . 9})$
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, $X \sim N(1,9), Y \sim N(0,16), \rho_{X Y}=-\frac{1}{2}$, 设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$, 求(1) $E Z, D Z \quad$ (2) $\rho_{X Z} \quad$ (3) $X$ 与 $Z$ 是否相关?