单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x>0$ 时，曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐进线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线，也有铅直渐近线
$\text{D.}$ 既无水平渐近线，也无铅直渐近线
若 $-3 a^2-5 b < 0$ ，则方程 $x^5+2 a x^3+3 b x+4 c=0$
$\text{A.}$ 无实根
$\text{B.}$ 有唯一实根
$\text{C.}$ 有三个不同实根
$\text{D.}$ 有五个不同实根
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$轴旋转一周所成的旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$
$\text{D.}$ $\pi^2$
设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值，则函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 在 $x=a$.
$\text{A.}$ 必取极大值
$\text{B.}$ 必取极小值
$\text{C.}$ 不可能取极值
$\text{D.}$ 是否取极值不能确定
微分方程 $y^{\prime \prime}-y=e^x+1$ 的一个特解应具有形式为 (以下 $a, b$ 为常数)
$\text{A.}$ $a e^x+b$
$\text{B.}$ $a x e^x+b$
$\text{C.}$ $a e^x+b x$
$\text{D.}$ $a x e^x+b x$
函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x=$
$\int_0^\pi t \sin t \mathrm{~d} t=$
曲线 $y=\int_0^x(t-1)(t-2) \mathrm{d} t$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程是
设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $f(x)=x+2 \int_0^1 f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x^2 & , x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是 $\qquad$
设 $\tan y=x+y$ ，则 $\mathrm{d} y=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $y=\arcsin e^{-\sqrt{x}}$ ，求 $y^{\prime}$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(2 \sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
微分方程 $x y^{\prime}+(1-x) y=e^{2 x}(0 < x < +\infty)$ 满足 $y(1)=0$ 的解.
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$.
证明方程 $\ln x=\frac{x}{e}-\int_0^\pi \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个不同实根.
对函数 $ y=\frac{x+1}{x^2} $，填写下表
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y \geq 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围成的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ 的值，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小.