计算 $\int_C z \mathrm{~d} z$, 其中 $C$ 为从原点到 $a+b \mathrm{i}$ 的直线段.
计算 $\int_C \frac{1}{(z-a)^{n+1}} \mathrm{~d} z(n \in \mathbf{Z})$, 其中 $C$ 表示以 $a$ 为圆心,$\rho$ 为半径的圆周.
设 $C$ 为圆周 $|z|=2$, 计算下列积分:
(1) $\int_C \frac{z}{\left(9-z^2\right)(z+\mathrm{i})} \mathrm{d} z$ ；
(2) $\int_C \frac{\sin z}{z} \mathrm{~d} z$.
计算积分 $\int_C \frac{\cos \pi z}{(z-1)^5} \mathrm{~d} z$, 其中 $C$ 是围绕 1 的简单闭曲线.
验证 $u(x, y)=y^3-3 x^2 y$ 是 $z$ 平面上的调和函数, 并求以 $u(x, y)$ 为实部的解析函数 $f(z)$, 满足 $f(0)=\mathrm{i}$.