单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=(1-\cos x)(2-\cos x) \cdots(n-\cos x)$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(n-1)$ !.
$\text{B.}$ $n !$.
$\text{C.}$ $(n+1)$ !.
$\text{D.}$ 0
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\tan h-h)}{h^3}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\ln (1+h)-h)}{h^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\arctan h-h)}{h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h}$ 存在.
已知函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数且 $f(0) \neq 0$, 极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}-\frac{1}{x^2 f\left(x^2\right)}\right]=$
$\text{A.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{B.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{C.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
$\text{D.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
函数 $f(x)=\frac{|x|^{2 x}-1}{x(x+2) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $k$ 为非零整数, 函数 $f(x)=\frac{k x}{k+1+\mathrm{e}} \mathrm{kx}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 存在, 则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-\sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x-\ln (1+\tan x)]\left(e^x-1\right)}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
在下列区间内，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{x(x-1)}$ 的有界的是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$.
$\text{D.}$ 以上都不正确.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{n}{(n+1) !}\right]^{2 n \cdot n !}=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)$ 可导, 设 $g(x)=\arctan [f(x)], f^{\prime}(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$, 则 $f(0)=$