填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{\left|z-z_0\right|=1} \frac{d z}{\left(z-z_0\right)^n}=$ ________ ( $n$ 为自然数)
设 $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$, 则 $f(z)$ 的孤立奇点有
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} n z^n$ 的收敛半径为
若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{z})$ 在整个平面上处处解析, 则称它是
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} z_n=\xi$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{z_1+z_2+\ldots+z_n}{n}=$
$\operatorname{Re} s\left(\frac{e^z}{z^n}, 0\right)=$ , 其中 $\mathrm{n}$ 为自然数.
$\frac{\sin z}{z}$ 的孤立奇点为
若 $z_0$ 是 $ f(z)$ 的极点, 则 $ \lim_{z\rightarrow z_0 } f(z)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)} \text {, 求 } f(z) \text { 在 } D=\{z: 0 < |z| < 1\}$
内的罗朗展式.
$\int_{|z|=1} \frac{1}{\cos z} d z$
设 $f(z)=\int_c \frac{3 \lambda^2+7 \lambda+1}{\lambda-z} d \lambda$, 其中 $C=\{z:|z|=3\}$, 试求 $f^{\prime}(1+i)$
求复数 $w=\frac{z-1}{z+1}$ 的实部与虚部.
函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析. 证明: 如果 $|f(z)|$ 在 $D$ 内为常数,那么它在 $D$ 内为常数.
试证: $f(z)=\sqrt{z(1-z)}$ 在割去线段 $0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1$ 的 $z$ 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线 $0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1$ 上岸取正值的那支在 $z=-1$的值.