填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=\arcsin \frac{x-1}{5}+\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ 的定义域是
设 $y=\ln \left(x^2+e^{3 x}\right)$, 则 $d y=$
位于曲线 $y=\frac{e^x}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积为
$\int_{-2}^2 \frac{\sin x^3+|x|}{1+x^2} \mathrm{~d} x=$
设 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int a f(a x) d x=$
设某商品的需求函数为 $Q=100-2 p^2$, 则当 $p=5$ 时的边际需求为
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{4 x-\sin 4 x}{8 x^2 \sin x}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求函数 $y=y(x)$ 在 $x=1, y=1$处的一阶导数值、二阶导数值。
设 $y=e^{f(\sin 2 x)}$, 其中 $f$ 具有二阶导数, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ 。
考察函数 $y=\frac{x^2+3 x+2}{2(x-1)}$ 的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{\sqrt{t}}-1\right) d t}{x^2 \ln (1+3 x)}$ 。
$\int x \sin \frac{x}{3} d x$ 。
$\int_{\frac{3}{4}}^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x}-1}$ 。
设 $a_n=n \int_0^{\frac{n+1}{n}} \frac{x^{n-1}}{1+x^n} d x$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 。
某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的函数是 $Q=200-P$, 设成本 $C$ 是 $Q$ 的函数: $C=C(Q)$, 已知平均成本为 $\bar{C}(Q)=Q+4$, 欲使利润最大, 价格应定为多少?
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} d t$, 求 $\int_0^\pi f(x) d x$ 。
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的可导函数, 且满足: $0 < f(x) < 1$, 试证:
(1) 至少存在一点 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=\xi^{2019}$;
（2）至少存在一点 $\eta \in(0,1)$, 使得 $3 f(\eta)+\eta f^{\prime}(\eta)=2022 \eta^{2019}$ 。
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。