解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\vec{a}=\vec{i}, \vec{b}=\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{c}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}$, 求一单位向量 $\vec{m}$ ，使 $\vec{m} \perp \vec{c}$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面。
设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^2 y}$, 问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点
( 1$)$ 是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=f(x, t) \\ t=F(x, y)\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ ( 假定隐函数定理条件满 足)
设 $z=u(x, y) e^{a x+b y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$, 试确定 $a, b$ 使 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在条件 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=1\left(a_i>0, i=1,2,3\right)$ 下的最小值。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x^3 y^2 z d V ， \Omega$ 为马鞍面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1, z=0$ 所包 围的空间区域。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2^n}+(-2)^n\right](x+1)^n$ 的收敛域。
求二重积分 $I=\iint_D\left|x^2+y^2-4\right| d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 。
计算曲面积分 $\iint_S(2 x+z) d y d z+z d x d y$ ，其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ，其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角。
已知 $L$ 是第一象限中从 $O(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2 x$ 到点 $A(2,0)$ ，再沿圆周 $x^2+y^2=4$ 到点 $B(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $\int_L 3 x^2 y d x+\left(x^3+x-2 y\right) d y$ 。
将 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。