填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x(x+1)(x-2)}$ 的无穷间断点为 ________ , $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
曲线 $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-1}$ 有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1 \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ ________
设 $x+\cos 2 x$ 为 $f(x)$ 的原函数, 则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$ ________ , $f^{(2015)}(0)=$ ________
设 $f(x)=\int_{-1}^x \dfrac{t^2+t}{t^6+1} \mathrm{~d} t$, 则 $f(1)=$ ________ , $f^{\prime}(1)=$ ________
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $y=\sqrt{8+x^3}$ 的导数和微分, 并利用微分计算 $\sqrt{8+(2.001)^3}$ 的近似值
求曲线 $x^4+x^2 y-y^3=1$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
计算 $\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-\infty}^0 x e^x \mathrm{~d} x$.
求抛物线 $y=3-x^2$ 与直线 $y=2 x$ 及 $y$ 轴在第一象限所围成的平面图形的面积 $A$ 及该平面图形绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积 $V$.
设 $f(x)=\frac{x^2-(\sin x)^2}{x^4}$.
(1) 计算 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$;
(2) 证明: 当 $x \rightarrow \infty$ 时, $f(x)$ 是关于 $\frac{1}{x}$ 的 2 阶无穷小.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.