已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$