解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 收敛半径为 $R$ ，试问 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{k n+m}$ 的收敛半径为多少？其中 $k, m$ 都是取定的正整数．
求下列幂级数的收敛域：
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n} x^{2 n-2}$ ．
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n^3}$ ．
（3）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{n^2}} x^n(a>0)$ ．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(x+1)^n$ 的和函数．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1) 2^n}$ 的和 $s$ ．
将下列函数展开成 $x$ 的幂级数，并求出展开式成立的区间：
（1）$f(x)=\sin ^2 x$ ．
（2）$f(x)=\arctan \frac{3 x-3}{9+x}$ ．
将函数 $f(x)$ 展开成 $x-x_0$ 的幂级数，并求出展开式成立的区间：
$f(x)=\frac{1}{x^2+3 x+2}, x_0=-4$ ．
利用 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$ ，计算 $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．