计算四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 & 1\end{array}\right|$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ，求 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}$ 及矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,-3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(4,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-3,1,-1,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(2,-3,4,2)^{\mathrm{T}}$ ， （1）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的秩 $r$ ，并依此判断向量组的线性相关性；（2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表示．
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1-x_2+4 x_3-x_4=1 \\ x_1+x_2-2 x_3+3 x_4=3 \\ 3 x_1-x_2+6 x_3+x_4=5 \\ x_1+3 x_2-8 x_3+7 x_4=5\end{array}\right.$ ，
（1）求方程组的一个解；（2）求方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的一个基础解系；（3）写出方程组的通解．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；（2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵并写出对角阵．