单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的导函数为
$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=u_y+i v_x$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=u_x-i u_y$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i v_y$ ；
$\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i u_y$ ．
$C$ 是正向圆周 $|z|=2$ ，如果函数 $f(z)=(\quad)$ ，则 $\oint_C f(z) \mathrm{d} z=0$ 。
$\text{A.}$ $\frac{3}{z-1}$ ；
$\text{B.}$ $\frac{3 z}{z-1}$ ；
$\text{C.}$ $\frac{3 z}{(z-1)^2}$ ；
$\text{D.}$ $\frac{3}{(z-1)^2}$ ．
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z=2 i$ 点收敛，则级数在
$\text{A.}$ $z=-2$ 点条件收敛；
$\text{B.}$ $z=-2 i$ 点绝对收敛；
$\text{C.}$ $z=1+i$ 点绝对收敛；
$\text{D.}$ $z=1+2 i$ 点一定发散．
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 点一定解析；
$\text{B.}$ 如果 $\oint_C f(z) d z=0$ ，其中 $C$ 复平面内正向封闭曲线，则 $f(z)$ 在 $C$ 所围成的区域内一定解析；
$\text{C.}$ 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为 $z-z_0$ 的幂级数，而且展开式是唯一的；
$\text{D.}$ 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域内解析的充分必要条件是 $u(x, y)$ 、 $v(x, y)$ 在该区域内均为调和函数．
下列结论不正确的是 ．
$\text{A.}$ $\ln \mathrm{z}$ 是复平面上的多值函数；
$\text{B.}$ $\cos z$ 是无界函数；
$\text{C.}$ $\sin z$ 是复平面上的有界函数；
$\text{D.}$ $e^z$ 是周期函数．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\operatorname{Ln}(-1-i)$ 的 主值是
$f(z)=\frac{1}{1+z^2}, \quad f^{(7)}(0)=$
$f(z)=\frac{z-\sin z}{z^3}$ ，$\operatorname{Re} s[f(z), 0]=$
$f(z)=\frac{1}{z^2}$,$\operatorname{Re} s[f(z), \infty]=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $a, b, c, d$ 使 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数，
$\oint_C \frac{1}{z(z-1)^2} \mathrm{~d} z$ ．其中 $C$ 是正向圆周 $|z|=2$ ；
计算 $\oint_C \frac{z^3 e^{\frac{1}{z}}}{(1-z)} \mathrm{d} z$ ，其中 C 是正向圆周 $|z|=2$ ；
函数 $f(z)=\frac{\left(z^2-1\right)(z+2)^3}{(\sin \pi z)^3}$ 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级．
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z+1)}$ 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） $0 < |z+1| < 1$ ，
（2） $0 < |z| < 1$ ，
（3） $1 < |z| < \infty$
求 $f(t)= \begin{cases}1 & |t| \leq 1 \\ 0 & |t|>1 \end{cases}$ 的傅立叶变换，并由此证明：