设平面区域 $D: x^2+y^2 \leq R^2, f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+x^2+y^2}, & y \geq|x| \\ 0, & y < x \mid\end{array}\right.$ ，求以 $D$ 为底，$z=f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积．
设 $\Omega$ 是由曲面 $z-1=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 与 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成的区域，求（1）
三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{1+x z+y z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} d V$ 的值；（2）$\Omega$ 的表面积．
在曲面 $z=2-x^2-y^2$ 位于第一卦限的部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小．
计算曲线积分 $I=\oint_C \frac{y d x-(x-1) d y}{(x-1)^2+y^2}$ ，其中 $C$ 为圆周 $x^2+y^2=R^2 \quad(R \neq 1)$的正向．
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x y^2 d y \wedge d z+y z^2 d z \wedge d x+z x^2 d x \wedge d y$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $y=\sqrt{4-z^2-x^2}$ 的右侧．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一阶导数连续，$C$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向光滑曲线，其起点为 $(1,4)$ ，终点为 $(4,1)$ ，记
$$
I=\int_C\left[\frac{1}{y}+y f(x y)\right] d x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] d y
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径无关；（2）求出 $I$ 的值．
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 均收敛，且 $a_n \leq b_n \leq c_n, n=1,2, \cdots$ ，问：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$收敛还是发散？请给出理由．