单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导的充要条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1- e ^h\right)$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}$ 存在
设 $f(x)=\left(x^2-2 x-3\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x)$ 可导，令 $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分而非必要条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。处可导的充要条件 $F_{-}^{\prime}(0)=F_{+}^{\prime}(0)$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}=a$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-3 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0-\Delta x\right)}{\Delta x}=$
设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+100)$ ，求 $f^{\prime}(-2)$
设 $f(x)=x \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ ，求 $f^{\prime}(0)$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续函数 $q(x) < 0$ ，证明方程 $y^{\prime \prime}+q(x) y=0$ 的非零解至多有一个零值．