解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：当 $-2 \leqslant h \leqslant-1$ 时 Bernoulli 不等式 $(1+h)^n \geqslant 1+n h$ 仍然成立；
证明：当 $h \leqslant 0$ 时成立不等式 $(1+h)^n \geqslant \frac{n(n-1) h^2}{2}$ ，并推广之；
证明：若 $a_i>-1(i=1,2, \ldots, n)$ 且同号，则成立不等式 $\prod_{i=1}^n\left(1+a_i\right) \geqslant 1+\sum_{i=1}^n a_i$
证明几何平均值－调和平均值不等式：若 $a_k>0, k=1,2, \ldots, n$ ，则有
$$
\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{\frac{1}{n}} \geqslant \frac{n}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}}
$$
用向前——向后数学归纳法证明：设 $0 < x_i \leqslant \frac{1}{2}, i=1,2, \ldots, n$ ，则
$$
\frac{\prod_{i=1}^n x_i}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^n} \leqslant \frac{\prod_{i=1}^n\left(1-x_i\right)}{\left[\sum_{i=1}^n\left(1-x_i\right)\right]^n}
$$
（这个不等式是由在美国数学界有重大影响的华裔数学家 Fan Ky 得到的．）
设 $a, c, g, t$ 均为非负数，$a+c+g+t=1$ ，证明 $a^2+c^2+g^2+t^2 \geqslant \frac{1}{4}$ ，且其中等号成立的充分必要条件是 $a=c=g=t=\frac{1}{4}$ ．（本题来自 DNA 序列分析．）