解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
$\frac{1-2 i}{3-4 i}-\frac{2-i}{5 i}$;
求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
$\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^3$
将下列复数写成三角表示式.
(1) $1-\sqrt{3} i$
(2) $\frac{2 i}{1+i}$
利用复数的三角表示计算 $\frac{-2+3 i}{3+2 i}$
利用复数的三角表示计算 $\sqrt[4]{-2+2 i}$
思考题:
(1) 复数为什么不能比较大小?
(2) 是否任意复数都有辐角?
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z_1, z_2, z_3$ 三点适合条件: $z_1+z_2+z_3=0,\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=1$, 证明: $z_1, z_2, z_3$ 是内接于单位圆 $|z|=1$ 的一个正三角形的项点.
试证: 当 $|\alpha|=1,|\beta| < 1$ 时, 则 $\left|\frac{\alpha-\beta}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|=1$.
设 $z+z^{-1}=2 \cos \theta(z \neq 0, \theta$ 是 $Z$ 的辐角 $)$, 求证 $z^n+z^{-n}=2 \cos n \theta$.