一、填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
1. 计算 .
2. 设 , 求 .
3. 计算二重积分 , 其中 是由直线 和曲线 所围成的闭区域。
4. 判别级数 的敛散性。
二、解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
5. 设函数 满足 , 且 , 求 .
6. 将信息分别编码为 和 后传递出去, 接收站接收时, 被误收为 的概率 0.02 , 而 被误收为 的概率 0.01 , 信息 与信息 传递的频率程度之比为 2:1. 若接收站收到的信息是 ,
问 (1) 接收站收到的信息是 的概率是多少? (2) 原发信息也是 的概率是多少?
7. 设 是由方程 所确定的二元函数, 求 .
8. 求两直线 与 之间的最短距离。
9. 计算 , 其中 表示不超过 的最大整数。
10. 设函数 ,
(1) 将 展开成 的幂级数, 并求收敛域; (2) 利用展开式求 .
11. 已知 满足 为正整数), 且 ,求函数项级数 的和。
12. 一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件, 第 个零件不合格品的概率为 , 以 表示三个零件中合格品的个数,求:
(1) 的概率分布;
(2) 平均的合格品数。