解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i+j}{i^2+j^2}$解
求极限$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\int_1^{\frac{1}{n}} e^{x^2} d x+\int_1^{\frac{2}{n}} e^{x^2} d x+\cdots+\int_1^{\frac{n-1}{n}} e^{x^2} d x\right] $
求极限$I= \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{(n+i+1)^2}+\frac{1}{(n+i+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+i+i)^2}\right)$
计算 $\iint_D\lfloor x+y\rfloor d x d y$, 其中 $D=[0,2] \times[0,2]$.
计算 $\iint_D\left\lfloor x^2+y^2\right\rfloor d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant n, x>0, y>0\right\}$.
求证:$\frac{3}{2} \pi < \iiint_{\Omega} \sqrt{x+2 y-2 z+5} d x d y d z < 3 \pi$ 其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leqslant 1$.
求 $\int_0^1 d y \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{3-y} f(x, y) d x$
交换二重积分的积分次序 $\int_{-1}^0 d y \int_2^{1-y} f(x, y) d x$.
交换二重积分的积分次序 $\int_0^{2 \pi} d x \int_0^{\sin x} f(x, y) d y$.
计算$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} r f(r \cos \theta, r \sin \theta) d r $