一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$
$\text{D.}$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi$ 和 $x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad$ ( $k$ 是整数 $)$ 是间断点, 其中无穷间 断点是 ________
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^x=$
三、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\mathrm{d} y$ 和 $y^{\prime \prime}(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内二阶可导,且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)}{x-1}=2$. 证明：
(1) 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=0$;
(2) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$;
(3) 存在 $\eta \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)-3 f^{\prime}(\eta)+2 f(\eta)=0$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.