一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 4 & 2\end{array}\right), C=A B^{-1}$ ， 则 $C^{-1}$ 的第 3 行第1列的元素为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1). $\boldsymbol{B C A}=\boldsymbol{E}$
(2). $C A B=E$
(3). $C^* B^* A^*=E$
(4). $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
向量组 $\alpha_1=[1,2,-1,1], \alpha_2=[2,0, t, 0], \alpha_3=[-1,2,-4,1]$ 的秩为 2 , 则 $t$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
$A, B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵, 则 $\left[\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right]$ 的伴随矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}O & |B| B^* \\ |A| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $(-1)^{m n}\left[\begin{array}{cc}O & |A| B^* \\ |B| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^* \\ A^* & O\end{array}\right]$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值为 $1,2,3, A_{11}, A_{22}, A_{33}$ 为 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式, 则 $A_{11}+$ $A_{22}+A_{33}=$
设 $A$ 为三阶方阵, $B$ 为四阶方阵, $|A|=3,|B|=-2$, 则 $|2 A|= ,|| B|A|= $.
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -1 & -6 & 4 & 3\end{array}\right|$.
5 阶行列式中，项 $a_{24} a_{31} a_{52} a_{13} a_{45}$ 前面的符号为
设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 1\end{array}\right|, A_{4 i}(i=1,2,3,4)$ 是 $D$ 的第 4 行元素的代数余子式，则 $A_{41}+2 A_{42}-A_{43}+2 A_{44}$ 等 于
设 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right) ， A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，且 $R(A)=2$ ，则 $R(A B)=$
设 $A$ 和 $B$ 是 3 阶方阵， $A$ 的 3 个特征值分别为 $-3,3,0$ ， 若 $E+B=A B$ ，则行列式 $\left|B^{-1}+2 E\right|=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 63\end{array}\right|=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{T}$, 使得在合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化 为标准形.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为三阶矩阵, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$, 且满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
计算 $n$ 阶行列式
$$
D_4=\left|\begin{array}{cccc}
3 & 2 & 4 & 8 \\
3 & -1 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 9 & 27
\end{array}\right|
$$
设 $A=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 3 & 0\end{array}\right)$ ，若 $R(A B+B)=2$ ， 求 $a$.
设矩阵 $A$ 满足 $2 A^{-1} B=2 B+E$ ，
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2}
\end{array}\right),
$$
试求出 $A-E$ 的第 2 行的元素.