10.22-数学组卷-自助组卷

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10.22

数学

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 2 \end{array}), C = A B^{- 1}

，则

C^{- 1}

的第 3 行第1列的元素为

A.

4

B.

8

C.

0

D.

-1

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2. 设

m, n

均为正整数, 并且

m < n

, 设

A

为

m \times m

的矩阵,

B

为

m \times n

的矩阵,

C

为

n \times m

的矩阵, 已知

A B C = E

, 设

A^{*}

为

A

的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1).

B C A = E

(2).

C A B = E

(3).

C^{*} B^{*} A^{*} = E

(4).

A^{T} C^{T} B^{T} = E

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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3. 向量组

α_{1} = [1, 2, - 1, 1], α_{2} = [2, 0, t, 0], α_{3} = [- 1, 2, - 4, 1]

的秩为 2 , 则

t

为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

0

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4.

A, B

分别是

m

阶和

n

阶方阵, 则

[\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}]

的伴随矩阵是

A.

[\begin{array}{cc} O & | B | B^{*} \\ | A | A^{*} & O \end{array}]

B.

(- 1)^{m n} [\begin{array}{cc} O & | A | B^{*} \\ | B | A^{*} & O \end{array}]

C.

(- 1)^{m n} | A | | B | [\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array}]

D.

(- 1)^{m n} | A | | B | [\begin{array}{cc} O & B^{*} \\ A^{*} & O \end{array}]

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 设 3 阶矩阵

A^{- 1}

的特征值为

1, 2, 3, A_{11}, A_{22}, A_{33}

为

| A |

的代数余子式, 则

A_{11} +

A_{22} + A_{33} =

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6. 设

A

为三阶方阵,

B

为四阶方阵,

| A | = 3, | B | = - 2

, 则

| 2 A | =, | | B | A | =

.

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7. 计算行列式

| \begin{array}{cccc} 2 & 5 & - 3 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 2 & - 5 \\ 1 & 3 & - 2 & 2 \\ - 1 & - 6 & 4 & 3 \end{array} |

.

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8. 5 阶行列式中，项

a_{24} a_{31} a_{52} a_{13} a_{45}

前面的符号为

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9. 设

D = | \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \end{array} |, A_{4 i} (i = 1, 2, 3, 4)

是

D

的第 4 行元素的代数余子式，则

A_{41} + 2 A_{42} - A_{43} + 2 A_{44}

等于

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10. 设

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array}) ， A

为

4 \times 3

矩阵，且

R (A) = 2

，则

R (A B) =

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11. 设

A

和

B

是 3 阶方阵，

A

的 3 个特征值分别为

- 3, 3, 0

，若

E + B = A B

，则行列式

| B^{- 1} + 2 E | =

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12. 行列式

| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 63 \end{array} | =

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{3}, g (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3}

.
(1) 求一个可逆矩阵

C

, 使得

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

可用合同变换

x = C y

化为标准形;
(2) 记

g (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的矩阵为

B

, 求正交矩阵

Q

, 使得

Q^{T} (C^{T} B C) Q

为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵

T

, 使得在合同变换

x = T y

下可将

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

与

g (x_{1}, x_{2}, x_{3})

同时化为标准形.

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14. 已知

A, B

均为三阶矩阵,

A = (\begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

, 且满足

A^{2} - A B = E

, 求矩阵

B

.

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15. 计算

n

阶行列式

D_{4} = | \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & - 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 9 & 27 \end{array} |

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16. 设

A = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & - 1 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ - 1 & 3 & 0 \end{array})

，若

R (A B + B) = 2

，求

a

.

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17. 设矩阵

A

满足

2 A^{- 1} B = 2 B + E

，

B = (\begin{array}{ccc} 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array}),

试求出

A - E

的第 2 行的元素.

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