一、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n !+1}{(n+2) !}=$
已知某商品的需求弹性为 $\eta=4 p^4, p$ 为商品的价格, 市场对该商品的最大需求量为 1 (单位: 万 元), 则需求函数 $Q=$
二、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=u(x, y) e^{a x+b y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$, 试确定 $a, b$ 使 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在条件 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=1\left(a_i>0, i=1,2,3\right)$ 下的最小值。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x^3 y^2 z d V ， \Omega$ 为马鞍面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1, z=0$ 所包 围的空间区域。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2^n}+(-2)^n\right](x+1)^n$ 的收敛域。
求二重积分 $I=\iint_D\left|x^2+y^2-4\right| d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 。
已知 $L$ 是第一象限中从 $O(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2 x$ 到点 $A(2,0)$ ，再沿圆周 $x^2+y^2=4$ 到点 $B(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $\int_L 3 x^2 y d x+\left(x^3+x-2 y\right) d y$ 。
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$ 。
若二元函数 $f(u, v)$ 对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足 $u \frac{\partial f}{\partial u}+v \frac{\partial f}{\partial v}=4 f(u, v)$, 并且 满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=u^2+v^2$ 。
(1) 求证: $\left\{\begin{array}{l}u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=12 f(u, v) \\ v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=\left(u^2+v^2\right)^2-12 f(u, v)\end{array}\right.$
(2) 记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{\lambda x} \cos y, \mathrm{e}^{\lambda x} \sin y\right)$, 其中 $\lambda$ 是一个常数, 求解 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ 。
计算 $\iint_D\left(x y \mathrm{e}^{x^2+y^2}+x^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: x^2+y^2 < |x|+|y|$ 。
设函数 $f(x)$ 的定义域为全体实数, 并且 $f(x)$ 具有二阶导数, 并且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x)>0$, 在同 一个坐标系下, 曲线 $y=f(x)$ 和直线 $y=x$ 有且只有两个交点 $P_1(a, f(a))$ 和 $P_2(b, f(b))$, 其中 $a < b$ 。
(1) 求证: $f^{\prime}(a) < 1 < f^{\prime}(b)$ 。并且 $\forall x < a$, 一定有 $f(x)>x ; \forall a < x < b$, 一定有 $f(x) < x$ 。
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, 求证: 当 $x_1 < a$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$; 当 $a < x_1 < b$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 。