一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{E}$, 则下列 $k$ 值中, 使 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})$ 最 小的是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解的充分条件的个 数是
(1) $r\left(\begin{array}{c}A \\ A^*\end{array}\right) < 3$.
(2) $r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^*\right) < 3$.
(3) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 是对称矩阵.
(4) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 不是对称矩阵.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^4$ 的最大特征值为
解答题 （ 共 ### 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 3 维向量空间的一组基,3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1=-2 \boldsymbol{\alpha}_1+5 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$, $A \alpha_2=2 \alpha_2-\alpha_3, A \alpha_3=-\alpha_1+8 \alpha_2-3 \alpha_3$.
(I) 设矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 为从 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵, 求矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得
$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right) \boldsymbol{B} ;
$$
(II) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵? 请说明理由.