一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t}{x^6}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $1$
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$
$\text{D.}$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则累次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 {~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta-\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
设 $f(x)=\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 无法确定 $f^{\prime \prime}(0)$ 是否存在.
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ （ ）
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, $f(0)=g(0) \neq 0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f\left(\sqrt{x^2-t}\right) \mathrm{d} t}{\int_0^1 x^2 g(x t) \mathrm{d} t}$.
设 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant 1\}, L$ 为 $D$ 的边界, 取逆时针方向, 若 $f(t)$ 连续, $g(t)$ 有一阶连续导数, 计算积分
$$
I=\oint_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x+y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) .
$$
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+y=x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(x \neq 0)$, 且 $y(1)=3 \mathrm{e}$.
(I) 求 $y=y(x)$ 的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线 $y=y(x)$ 与 $y=k(k>0)$ 不同交点的个数.