一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
. 函数 $y=1-x^2$ 在区间 $[-1.1]$ 上应用罗尔定理时, 所得到的中值=
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $y=\ln \tan \sqrt{x}$, 则 $d y=$
记 $F(x)=\int_0^{x^2} \cos \left(\pi t^2\right) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(1)=$
设连续函数 $f(x)$ 满足 $2 \int_1^x f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设$ y=f(x) $是由方程 $ \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^2+y^2} $ 确定的隐函数, 求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} $
证明：当 $ x> 0 $ 时, $ 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2} $
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内可导, 且 $f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$. 试证: 必存在一点 $\xi \in(0,3)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求
$$
\int f(x) d x .
$$
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
求积分 $\int_0^{\mathrm{e}} \cos (\ln x) \mathrm{d} x$ 的值。