单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)$（ $k$ 为常数）
$\text{A.}$ 绝对收敛．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关．
下列级数收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+4)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2+1}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n(1-x)}{n\left(1-x^{2 n+1}\right)}$ 的收敛域．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$ 。
（1）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
（2）试证：对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛。