单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^2+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1$
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-1$
$\text{D.}$ $a=\frac{2}{3}, b=1$
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{B.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$
$\text{C.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{D.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}-1$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 ( ).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值, 但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值, 但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
在下列微分方程中，以 $y=\left(c_1+x\right) \mathrm{e}^{-x}+c_2 \mathrm{e}^{2 x}$（ $c_1, c_2$ 是任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=\mathrm{e}^{y+a z}(a$ 是非零常数）确定，则（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
设连续函数 $f(x)$ 满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^{2 x} f(t) \mathrm{d} t=4 x \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=$
$\text{A.}$ $(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $-(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $(x-1) e^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $-(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>1$
$\text{B.}$ $1>I_1>I_2$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>1$
$\text{D.}$ $1>I_2>I_1$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域具有二阶连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)>0, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $|f(x)|$ 的极值点，但 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $|f(x)|$ 的极值点，但 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $|f(x)|$ 的极值点，且 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $|f(x)|$ 的极值点，且 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+2^x\right)^{\frac{2}{x}}=$
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
$\int_0^2 \frac{2 x-4}{x^2+2 x+4} \mathrm{~d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^x$ 满足条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ 的解为 $y=$
若函数 $z=x(x, y)$ 由方程 $e^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $F(x)=\frac{\int_0^x \ln \left(1+t^2\right) \mathrm{d} t}{x^a}$ ，设
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=0 ，
$$
试求 $a$ 的取值范围.
设
$$
f(x)= \begin{cases}\sin x+2 a \mathrm{e}^x, & x < 0, \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, & x \geqslant 0 .\end{cases}
$$
确定 $a, b$ 的值，使 $f^{\prime}(0)$ 存在．
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$
已知连续函数 $f(x)$ 满足
$$
\int_0^x f(t) \mathrm{d} t+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=a x^2 .
$$
(I)求 $f(x)$ ；
(II)若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 1 ，求 $a$ 的值.
求 $f(x, y)=\left(2 x^2-y^2\right) e^x$ 的极值．
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$